
\prob{0015}{函数嵌套}

已知$f(f(x)) = x^2 - 5x + 9$，求$f(3)$。
\problabels{yellow/代数, green/代数求值问题}

\ans{$f(3) = 3$}

\subsection{$f(3)$的嵌套}

基本思路：根据$f(f(3)) = 3$列方程求出$f(3)$。

根据$f(f(x)) = x^2 - 5x + 9$，可得

\[ f(f(3)) = 2^2 - 5\times3 + 9 = 3 \]

则

\[ f(f(f(3))) = f(3) \]

又根据$f(f(x)) = x^2 - 5x + 9$，可得

\[ f(f(f(3))) = f(3)^2 - 5f(3) + 9 \]

由此可列二元一次方程

\[ f(3) = f(3)^2 - 5f(3) + 9 \]

解得

\[ f(3) = 3 \]

综上，$f(3) = 3$。
